Geometría Analítica en el espacio
La función implícita de 3 variables geométricamente representa una superficie cilíndrica en el espacio.
La recta en el espacio
La ecuación vectorial de la recta es: R=Ro + ta
Donde:
R es el vector de la recta.
Ro es el vector posición de un punto en la recta
t es una constante
a es el vector dirección
Las ecuaciones paramétricas son: X=Xo + tl
Y=Yo + tm
Z=Zo + tn
La ecuación cartesiana es: X-Xo = Y-Yo = Z-Zo
l m n
La ecuación vectorial de la recta: R = R1 + (R2 - R1)
Distancia de un punto a una recta
La distancia se puede calcular con la siguiente formula:
d = IIa*(R1-Ro)II
Angulo entre 2 rectas
El angulo se calcula con:
@= arccos(a1 . a2)
El plano en R3
Ecuación vectorial del plano
Ecuación general del plano
Ecuaciones incompletas del plano
1) Si C=0
Ax + By + D = 0
F(x,y) = 0
Plano con generatriz paralela al eje OZ
2) Si C=0 y D=0
Ax + By = 0
Plano con generatriz paralela al eje OZ y que contiene al eje OZ
3) Si B=0 , C=0
Ax + D = 0
Ecuación segmentaría del plano
Ecuación normal del plano
Factor Normalizante
Al igualar la ecuación normal del plano con la ecuación general, se obtiene el factor normalizante.
Distancia del punto al plano
Con la ayuda de la ecuación normal del plano y el vector director del punto se puede hallar la distancia entre estos dos elementos.
Ecuación del plano dado 3 puntos
Con la ayuda de 3 puntos se puede obtener la ecuación del plano:
- Si el producto mixto es 0 son coplanares.
- Geométricamente el producto mixto representa el volumen del paralelepípedo que tiene como arista los 3 vectores involucrados.
Se puede hallar la recta de los planos que se hayan intersecado cuando se tiene las ecuaciones de dichos planos.
Haz de plano
Conjunto infinito de planos que pasan por una recta común.
Ecuación vectorial de la esfera
Conociendo el centro de la esfera más un punto de la misma se puede obtener la ecuación de la esfera.
Superficies de Segundo Orden
Cilindros y Superficies cilíndricas
La ecuación de estas superficies es:
Si se selecciona un sistema de coordenadas adecuado esta ecuación puede simplificar significativamente.
Algunas de las superficies cuadráticas son:
- Se debe buscar las intersecciones con los ejes coordenados
- La intersección con los planos coordenados
- La intersección con los planos paralelos a los planos coordenados
Y la figura quedaría:
Funciones Vectoriales y Curvas en el Espacio
Como hemos visto las superficies están dadas por ecuaciones que en el plano representaban curvas pero si ahora son superficies, entonces tiene una representación gráfica de una curva alabeada.
Caso particular (Representa un curva plana)
Continuidad:
La función es continua en:
Derivada
La derivada en el espacio es la derivada parcial de cada una de sus componentes
Integral
La integral en el espacio es la integral parcial de cada una de sus componentes
Triedro Móvil
Es un sistema planos formados por los vectores tangente, normal y binormal.
r´(t) = T
r´´(t) = a
Vector Binormal
Vector Normal
Recta Tangente (RT)
Recta Binormal (RB)
Recta Normal Principal (RNP)
Plano Osculador (PO) La intersección de las rectas tangente con el normal.
Plano Rectificante (PR) La intersección de las rectas tangente y binormal.
Plano Normal (PN) La intersección de las rectas binormal y normal.
Tipos de curvas
Curva de Flexión (k) Llama simplemente curvatura.
Curva de Torsión ( T) Representa el alejamiento o acercamiento del plano osculador a la curva C, se define.
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