Enero

Puntos Extremos

Máximos y Mínimos Relativos

La función z=f(x,y) en un punto cualquiera (a,b) puede dar los siguentes casos:

  - Si f(x,y) < f(a,b) cuando (x,y) estan cerca de (a,b). El valor f(a,b) recibe el nombre de máximo relativo (MR) de f(x,y).

  - Si f(x,y) > f(a,b) cuando (x,y) estan cerca de (a,b), entonces se dice que f(x,y) tiene un mínimo relativo (mr) en (a,b)

Criterios de la Segunda Derivada:

  1)  Hallar las derivadas parciales  fx,fy

  2)  Igualar a 0 las derivadas parciales:  fx=0 ; fy=0 , hallar los puntos críticos.

  3)  Hallar las derivadas parciales de segundo orden: fxx; fxy; fyy

  4)  Determinar:

  5)  Formar el determinante Jessiano (Δ)

  6)  Evaluar

   - Si Δ>0 ; A<0 (o C<0) ⇒ MR

    - Si Δ>0 ; A>0 (o C>0) ⇒ mr

    - Si Δ<0 ; punto de silla en (Xo,Yo)

    - Si Δ=0 ; Existencia indeterminada

Puntos de silla: Es donde la función presenta un MR con respecto a una variable y un mr con respecto a la otra variable.

Máximos y Mínimos Absoluto

Toda función diferenciable en una region acotada y cerrada alcanza un valor máximo o mínimo o un punto estacionario (Derivada parcial = 0) o en un punto de la frontera de la región.

Máximos y Mínimos Condicionados

Método de Multiplicación de la Lagrange

Se denomina extremo condicionado de una función f(x,y), al valor máximo o mínimo de esta función alcanzado con la condición (restricción) de que las variables independientes estén relacionadas con un ecuación de enlace g(x,y) = 0

- Para hallar estos extremos condicionados se debe formar:

Función de Lagrange

λ= Multiplicador de Lagrange parámetro constante independiente.

- Luego se procede a derivar parcialmente la función de lagrange con respecto a "x", "y", "λ" y se halla los puntos críticos.

Si se tiene más condiciones se debe agregar mas multiplicadores de lagrange.

Integrales Múltiples

Integral Doble

Integral Triple

Integrales Sobre Regiones Rectangulares

Se integra sobre una región rectangular donde la integral tiene la siguiente forma:

Como la sección donde se integra es un rectángulo se dice que son Integrales Iteradas, lo que significa que no importa el orden en que se va a integrar.

Integrales Sobre Regiones Más Generales

                         

                                                   a)                                                  b)

Para el caso a) donde (x) es constante y (y) depende de (x) 

Para el caso b) donde (y) es constante y (x) depende de (y)

Transformación de Integrales Múltiples

Se realiza la transformación cuando se esta trabajando en un área que no es rectangular, de esta manera se facilita la resolución de la integral múltiple.

                                                     

Con la ayuda del jacobiano logramos esta transformación.

Aplicación de las Integrales Múltiples

Centro de masa c (Xo,Yo,Zo)

Es el punto donde se considera se concentra la masa de un cuerpo.

- Centro discreto

- Si se trata de "n" masas

- Caso continuo (n ⇒ ∞)

   1) Distribución de masa lineal: Cuando tiene una sola dimensión

   2) Distribución de masa superficial: Cuando el cuerpo tiene dos dimensiones.

   3) Distribución de masa volumétrica: Cuando se tiene un cuerpo con tres dimensiones.

Momentos de Inercia

Campos Vectoriales

Un campo vectorial se define como una función que se define sobre un vector en Rn, es decir, un vector que se transforma en otro vector gracias a una función f:

Integral de Linea

Es una integral cuya función se encuentra evaluada sobre una curva C. Su utilización pueden ser:

el cálculo de la longitud de una curva en el espacio o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas que actúen sobre el mismo.

La integral de linea se define por la siguiente expresión:

Y en el espacio seria:

Para la resolución de estas integrales, se debe seguir los siguientes pasos:

1. Parametrizar las variables

2. Derivar las variables parametrizadas

3. Reemplazar las nuevas variables en la función f(x,y)

4. Simplificar algebraicamente lo que sea posible

5. Resolver la integral

Integral de linea en campos vectoriales.

La integral de linea a lo largo de C es:

Teorema Fundamental

El teorema fundamental del cálculo consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas.

Campo conservativo

Para que un campo sea conservativo en:

Debe cumplir las siguientes condiciones:

Teorema de Green

Da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C.