Noviembre

Funciones de 2 o más variables

- Si f(x,y)=z la gráfica en el espacio se obtiene una superficie.
- El dominio de la función f(x,y) es un conjunto de escalares Z elemento del espacio.
-  El rango de la función f(x,y) es un conjunto de escalares Z elemento del espacio.
- La gráfica de f(x,y,z)=w no se puede representar en el espacio, pero seria una hipersuperficie. Solo se puede representar en el espacio el dominio de la función.

Análisis del dominio de función o campo de existencia.

1) Análisis matemático: Va la forma matemática de determinar un dominio.

2) Análisis gráfico: Se representa gráficamente el dominio calculado anteriormente.



3) Análisis descriptivo: Se debe escribir lo calculado anteriormente en palabras.

Curva de Nivel

Las curvas de nivel de una función f(x,y) son las curvas cuyas ecuaciones son f(x,y) = k, donde k es una constante (en el rango de los reales)



Las curvas de nivel se representan en el plano y después en el espacio.

Estas curvas nos dan la idea de como queda la gráfica en el espacio.

Limites y Continuidad

Por definición de limites se obtiene que:


Para demostrar que una función es continua se debe tener en cuenta los siguientes pasos:


Cuando se determina el límite de una función en el espacio existen algunas observaciones:

- El entorno de aproximación es un disco de centro (a,b) y de radio d (d>0)

- Se tiene infinitos caminos de aproximación a (a,b) por tanto:
 
   1) Si por dos caminos a trayectorias distintas el valor del limite es diferente, entonces el limite no existe.
   2) Si por dos o más caminos el valor del limite es el mismo, se puede asumir que el limite existe.

Una función f(x,y) = z se dice que es discontinua si:

Para los casos 1) y 2) se dice que es discontinua evitable y para el caso 3) es discontinua inevitable.

- Si la función es discontinua evitable se debe redefinir, para transformarla en continua en (x,y)

Derivada Parciales

x,y   variables independientes

z      variable dependiente

- Las reglas y propiedades de derivación de funciones de 1 sola variable se aplican para la derivación de 2 o más variables.

Las derivadas parciales se pueden interpretar de dos formas:

Interpretación Física.

Las derivadas parciales físicamente representan una razón de cambio.

Interpretación geométrica:

Plano tangente a f(x,y) en P(xo,yo,zo)

Donde la ecuación del plano tangente a la superficie z = f(x,y) en Po