Derivadas Parciales de Orden Superior
En R2
En R3
Existen 2n derivadas de orden "n"
Derivada Cruzada: Solo si f(x,y) es continua
Existen nm derivadas de orden "m"
Incremento y Diferenciales
En R²
Incremento total de f(x)
x = variable independiente
y = variable dependiente
En R3
Incrementos parciales
x,y = variables independientes
z = variable dependiente
Incremento total de f(x,y)
Δz ≠ Δzx + Δzy
Diferencial total de f(x,y)
Si u = f(x1, x1, ... Xn)
x1, x1, ... Xn = variables independientes
u = variable dependiente
Derivadas de Funciones Compuestas
Permite derivar una función que depende de una variable, la misma que depende de otra u otras mas.
En R²
En R3
En este caso:
z = variable dependiente
x,y = variables intermedias
t = variable independiente
También puede existir el caso donde existan mas variables intermedias y en ese caso se representa así
:Derivadas de Orden Superior
Si z=f(x,y) x=x(t) y=y(t).png.jpg)
Dependiendo del numero de variables la formula tendrá mas o menos elementos.
Diferencial de Orden Superior
En R2
En R3
Derivación de Funciones Implícitas
Existen 2 métodos para derivar funciones implícitas:1) Por Diferenciación
Se debe diferenciar la función con respecto a las variables que se tenga y mediante algunas operaciones se obtiene la derivada de una variable en función de la otra.
2) Por Derivación Implícita
Se deriva la función con respecto a una de las variables haciendo posible la simplificación de una de ellas.
Dependiendo de el numero de variables se sabrá cuantas derivadas se deben realizar.
Sistema de Funciones Implícitas
Ademas de los dos métodos de derivación antes mencionas también existe el método del Jacobiano, donde:
Y el Jacobiano es:
Determinante Jacobiano
A partir de este Jacobiano se obtiene las derivadas de las variables independientes con respecto a las variables intermedias.
Derivada Direccional
En el análisis matemático, la derivada direccional de una función multivalente sobre un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que éstas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes x,y,z.
Se representa de la siguiente manera
.png.jpg)
El gradiente es igual a :
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